第七章 静止电荷的电场

• 正起负终
• 中途不断(奇异点除外)
• 不闭合(动电场不成立)
• 不相交

• 无限长带点直棒附近某点场强 \[E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a}\] \(\lambda\) 为直棒电荷线密度
• 直径为 \(R\) 均匀带电荷 \(q\) 的圆环在圆环轴线 \(x\) 处场强 \[E = \frac{qx}{4\pi\epsilon_0 \left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\]
• 均匀带电圆盘在圆盘轴线 \(x\) 处场强 \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left( 1 - \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right) \]

电场强度较大处电场线较密

通量

(平均法向分量)·(面的面积);

电场强度通量

\[ \psi_E = \vec{E}\cdot \vec{S} \] \(\vec{S}\) 为面积通量, 方向为 平面正法线方向.

电场线从曲面内传出则 \(\psi_E\) 为正, 反之为负.

以点电荷为中心, 半径为 \(R\) 的球面 \[\psi_E = \oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\oint \mathrm{d}S = \frac{q}{\epsilon_0}\] 这一结果表明 \(\psi_E\) 与球面所包围的点电荷成正比, 与球面半径无关.

• 电荷呈半径 \(R\) 球对称分布 \[\vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\vec{e}_r\] \(r > R\), 与全部电荷集中在球心处相同.
• 均匀分布在无限大平面 \[\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{e}_n\] 利用一对均匀带电板获得均匀电场.

• 呈无限长底面半径 \(R\) 圆柱轴对称分布

  \begin{cases} \vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\vec{e}_r,& r > R\\ \vec{E} = \frac{\lambda_r}{2\pi\epsilon_0 R^2}\vec{e}_r ,& r \le R\\ \end{cases}

静电场力做功与路径无关,只与路径的起点与终点有关(保守力做功).

环路

(平均切向分量)·(环行距离).

电势能

通常取无穷远处或大地为零势能点 \[ W_M - W_N = A_{MN} = q \int_M^N \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{l} \]

电势

取无穷远处为零势能点: \[ V_M = \frac{W_M}{q_0} = \int_M^{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l} \]

电势差/电压

\[ U_{MN} = V_M - V_N = \int_M^N \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l} \]

电子伏特

\[1 \text{eV} = 1.60 \times 10^{-19} \text{J};\ 1\text{MeV} = 10^6 \text{eV};\ 1\text{MeV} = 10^6 \text{eV} \]

当带电导体处于静电平衡状态时,导体内部处处没有净电荷存在(不代表没有电荷,只是正负电荷作用平衡),电荷只能分布于导体的外表面上.

应用高斯定律求得导体表面附近电场强度与该表面处电荷面密度的关系: \[ \vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\vec{e}_n\] 虽然现在说有点晚, \(\vec{e}_n\) 为导体表面法线单位方向矢量.

对于孤立的带电导体,电荷在其表面上的分布由导体表面的曲率决定.

尖端放电;避雷针

空腔导体内外的静电场(内外屏蔽的相互性)

静电屏蔽

在静电平衡状态下,空腔导体外的带电体不会影响空腔内部的电场分布;一个接地的空腔导体,空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响(使腔内带电体与外界影响隔绝).

电容

表征导体储电能力的物理量,其物理意义是:使导体升高单位电势所需的电荷量. 孤立导体的电容 \(C = q/V\) 只与导体的 大小, 形状 和 周围介质 有关. 故有孤立导体球的电容公式 \[C = 4\pi\epsilon_0 R\] 其中 \(R\) 为导体球半径.

电容器的电容 \[ C = \frac{q}{V_A - V_B} \] \(U_{AB} = V_A - V_B\)

分布电容:实际上任何导体间都存在电容.(寄生电容)

电容器的串联与并联(串联为倒数之和,并联为之和-与电阻相反).

电极化强度 (\(\vec{P}\) 矢量)

取单位体积内分子电偶极矩的矢量和 \[ \vec{P} = \frac{\sum \vec{p}}{\Delta V} \]

\[\oint_S \vec{E}\cdot \mathrm{d}S = \frac{1}{\epsilon_0}\left( \sum q_0 + \sum q^{\prime} \right)\] \(\sum q_0\), \(\sum q^{\prime}\) 分别代表 \(S\) 面内自由电荷量的代数和与极化电荷的代数和.

经推导, 有: \[ \oint_S \left( \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} \right)\cdot \mathrm{d}\vec{S} = q_0 \]

电位移

\[\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}\] 有 \[ \oint_S \vec{D}\cdot \mathrm{d} \vec{S} = q_0 \] 上式为有电介质时的高斯定律.

该定律对各向同性电介质或各向异性电介质都是普遍适用.

电位移的形象化描述.

\[\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 \vec{E}\chi_e\epsilon_0 \vec{E} = \epsilon_r\epsilon_0 \vec{E}\] \[\Rightarrow \vec{D} = \epsilon \vec{E}\]

特别地,当均匀介质充满整个电场或电介质表面是等势面时,有: \[\vec{E} = \frac{\vec{E}_0}{\epsilon_r}\Rightarrow \vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}_0\]